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こころん

旧 りんごの小部屋

しょうこりもなく微分の話

日記

曲線に接線を引くときこんな絵がよく出ます。

B点とA点を結ぶ直線を考えてB点をA点に近づけていきます。

直線Tの傾きはB点とA点を結んだ線の傾き。

A(a,f(a))、B(b,f(b))なら[f(b)-f(a)]÷(b-a) [式1]

B点が限りなくA点に近づいていくとき

A点における接線の傾きは微分を使えばf'(a)になります。

限りなく近づくけど一致しない。

一致しないから[式1]の分母の(b-a)はゼロにならず有限値がでます。

B点が直線に乗ってA点に近づいていくとき、

A点を通る直前と通り過ぎた直後まで距離があるので値がでる。

B点がA点とぴたり重なったときだけ[式1]は 0/0 になってしまう。

A点にB点が近づいてく時、傾きは限りなくf'(a)に近づいていくし、

B点がA点を通り過ぎると、傾きはf'(a)から徐々に離れていく。

こうなったらA点における傾きはf'(a)だと思って良いよね!

傾きの定義の式[式1]ではA点の傾きは計算できない、

でも直前、直後の値の変化を見ればA点の傾きはf'(a)の筈だよ!

数学的にはまったく厳密じゃないけれど

微分」とは、「限りなく近づく」とはそんな感じだと思いました。

 

y = 1/2 x^2 という2次関数のグラフを考える。

A点(1,0.5)にB点(x,f(x))が近づいていく。

A点とB点を結ぶ直線の傾きを考えよう。

A(1,0.5)、B(x,f(x))なら[f(x)-0.5)]÷(x-1) [式2]

B点がA点に近づいていくとき式2の分母(x-1)は0にならないから

[式2]は 0/0 にならず有限値がでる。

B点が(3,4.5)→(2,2)→(1.5,1,125)とA点に近づいていくと

 [式2]の値は 2 → 1.5 → 1.25 と1に近づいていく。

B点が(0.5,0.125)→(0.0)→(-1,0.5)とA点から遠ざかっていくと

 [式2]の値は 0.75 → 0.5 → 0 と1から遠ざかっていく。

もっと細かく刻んでいけば1を挟んでびっしり値が決まっていくだろう。

ぴたりA点の時だけは[式2]は 0/0 で定義できない。

でも1を挟んでびっしり値が決まっているなら

もうA点における値は1と言っていいだろう。

 

xがある極限値tを挟んで推移するとき、

f(x) = y の値も対応する極限値f'(t)を挟んで推移していく。

導関数が滑らかに推移するなら、そのtにおける値はf'(t)でいいよね。

それが0/0で定義不能になった極限に値を与える考え方なのだろう。

 

0.999…は1に限りなく近づいていく。

y = (1-1/10^x) という関数を考える。

x = 1→2→3→4→ と変化していくと

f(x) = y = 0.9→0.99→0.999→0.9999→ と変化していく。

ここで x が無限大になったとする。

無限大なんて値は定義できないからf(無限大)も分からない。

そこで対応する f(x) = y の値の変化から推測しよう。

y = 0.9999999… と1に近づいていき、びっしり値が1まで埋まっていく。

そうなると 「x=無限大になった」時のyの値、つまりf(無限大) =1 として良いだろう。

数式で書くと lim[x→∞]{y = (1-1/10^x)} = 1。

 

数直線の白丸みたいなものだ。

上記の数直線でx = 3 は定義できない。

だからf(3)も直接は定義できない。

でも3を挟んでxを動かしたとき、

これに対応するf(3)が「何かの値」を挟んでびっしり埋まったとすると

その「何かの値」はイコールf(3)の値なんだと。

 

狐につままれたようだけど実数の稠密性ってこんな議論だと思う。

ただxが無限大の時は「前後から」挟めないからちょっとイマイチだね。

導関数f'(x)が「滑らかに推移する」のが前提だしね・・・。