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こころん

旧 りんごの小部屋

0.999・・・=1

日記
前にも記事にしましたが0.999・・・は
「1に限りなく近いけど1じゃない数」ではなくて
「寸分たがわず1」というのが常識のようです。
1/3=0.333・・・の両辺を3倍すれば自明。
0.999・・・と1の差をとると0.000・・・で永久に0が続く=0だから。
あるいは公比1/10の等比数列の和の公式を使って。
実数の連続性から1より大きな0.999・・・の「隣の数」がありえないから。
証明はいろいろあるけどとにかく0.999・・・=1らしい。

でもどうも納得いかないんです。

0.999・・・と1との差額は「無限小」と言えます。
この無限小は「0」だと言い切ってしまうのがオイラー
そう言いきらないで限りなく0に近づく様とか
限りなく0に近い微少量とか言うのが
コーシーやライプニッツ
僕は非オイラー的な考えがしっくりきます。
0.999・・・=1という時の「1」は限りなく近づく「目的地」を指すわけで
「同じ値」だと言ってるわけじゃない。「0.999・・・→1」というわけ。

0.999・・・と1との差額である「無限小」は
ε-δでは「いくらでも小さくできる正の数」と言ったり
マクローリン展開の「(最後に出てきて殆ど無視できる)余剰項」と同じ概念。

マクローリン展開では項数nが無限になれば余剰項は永遠に登場しない。
永遠に登場しないから無視できるか登場しないけど余剰項はあると考えるか。
どっちにしろ計算上は無限小は「0」としてもよさそうですが。

曲線の接線も同じ「無限小」の考え方を使います。
Δxだけ動いたときのΔyの大きさの比Δy/Δxが接線の傾き。
(「Δ」は限りなく小さい無限小量)
Δxは無限小なのですが「すなわち0」だと分母分子に0が来て困る。
「0じゃないけど0に近づいていくさま」とすると
ΔxもΔyも0に近づいていくけど、
Δxが0に近づく速度とΔyが0に近づく速度の比(Δy/Δx)は
一定の値をとるので意味のある数字が出てくるわけ。
これは「無限小=0だ!」と言い切らない発想。

だから0.999・・・=1は0.999・・・→1であって
「イコール」の意味が無限を意味する「・・・」が登場すると
普通の「同じ値」という意味じゃなくなるんだと
僕は思うんです。

ただそう考えても計算上は無限小=0でよくて
ゆえに0.999・・・=1で支障がない。

ときに「ゼノンのパラドックス」のなかで
1/2+1/4+1/8+・・・というやつがあります。
でも距離1を歩く人は完全に距離1に到達している。
残りの半分進んで残りの半分進んで・・・と無限に「区切れる」だけで
歩く本人は普通に距離1の地点にに到達している。
限りなく1に近い地点、じゃなくて。

無限や極限をどう考えるか。
まだまだよく整理できてません。