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こころん

旧 りんごの小部屋

極限値

日記
tに限りなく近づくxがあるときf(x)はf(t)に限りなく近づいていく。
「xがtに限りなく近づく」というのをxとtの差が0に近づくと説明されます。
ε-δ論法でもその差は0でなく正なことが前提。

一方、0.999・・・=1というとき
0.999・・・は寸分違わず1なのか、1じゃないけど1に限りなく近づいていく"様"を言うのか。
寸分違わず1というのが正解。
言わば「1」の無限級数表示が「0.9999・・・」だから。
1との差は「0.0000・・・」でこの先0でない数は永遠に現れない。
もし何千億桁の後に「・・・1」が登場すればそれは「無限」じゃない。
1との差は0.000・・・が果てしなく続く、これすなわち「0」だ。
1との差が0なんだから0.999・・・=1だということです。

でもε-δでは極限値との差は0じゃない正の数。
f(x)=x^2を微分すれば
{(x+Δ)^2-x^2}/Δ=(2Δx+Δ^2)/Δ=2x
このとき無限小Δが0でないからこそ分母にきても約分できる。
ゆえにΔ^2も0じゃない。
0じゃないけど無視できるほど小さいので0と近似するわけです。

どうやら極限値と0.999・・・=1は区別した方がいいのかな。
どっちも「限りなく何とかに近づく」って言うけど。

あ、いや0.999・・・って9が限りなく「続く」てだけで 限りなく「近づく」わけじゃないから別ものでいいのか。